Question

11．已知a，b，c是△ABC的三邊，且b²-2a-$\sqrt{3}$b-2c=0，2a+$\sqrt{3}$b-2c+1=0，則△ABC的最大角的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 將已知兩式子相加可解得：c=$\frac{^{2}+1}{4}$，相減可得a=$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$=$\frac{（b-\sqrt{3}）^{2}}{4}$-1＞0，顯然c＞a，解得：b＞2+$\sqrt{3}$，或b＜$\sqrt{3}-2$＜0（舍去），再由c-b=$\frac{^{2}+1}{4}$-b=$\frac{（b-2）^{2}}{4}$＞0（b＞2+$\sqrt{3}$），可得最大邊為c，由余弦定理可得：（$\frac{^{2}+1}{4}$）²=（$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$）²+b²-2×$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$×b×cosC，化簡(jiǎn)可解得cosC的值．

解答 解：∵b²-2a-$\sqrt{3}$b-2c=0，①
2a+$\sqrt{3}$b-2c+1=0，②
∴①+②可解得：c=$\frac{^{2}+1}{4}$，
①-②可解得：a=$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$=$\frac{（b-\sqrt{3}）^{2}}{4}$-1＞0，
∴顯然c＞a，解得：|b-$\sqrt{3}$|＞2，即：b＞2+$\sqrt{3}$，或b＜$\sqrt{3}-2$＜0（舍去），
再比較c與b的大小．
∵c-b=$\frac{^{2}+1}{4}$-b=$\frac{^{2}+1-4b}{4}$=$\frac{（b-2）^{2}}{4}$＞0（b＞2+$\sqrt{3}$）．
∴c＞b，
∴最大邊為c．
由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
即：（$\frac{^{2}+1}{4}$）²=（$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$）²+b²-2×$\frac{^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$×b×cosC，
化簡(jiǎn)可得：cosC=$\frac{4b（\sqrt{3}-\sqrt{3}^{2}+6b）}{8b（^{2}-2\sqrt{3}b-1）}$，
解得：cosC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，不等式解法的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，判斷最大邊為c，是解題的關(guān)鍵，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．