Question

12．對任意兩個非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定義α○β=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$．若平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow$|＞0，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$和$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$都在集合{$\frac{n}{4}$|n∈Z}中，則$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}，$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}．由平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow$|＞0，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$≥1，cosθ∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}$○$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}，
$\overrightarrow$○$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{a}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\frac{|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$∈{$\frac{n}{4}$|n∈Z}．
∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow$|＞0，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$≥1，cosθ∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
取$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=3．
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、集合的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．