Question

17．已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為$\sqrt{2}+1$，則它的面積的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)兩直角邊為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，依題意，a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，利用基本不等式可求得$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而可求得該直角三角形面積的最大值．

解答 解：設(shè)兩直角邊為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，
則c²=a²+b²，且a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$+1，
∴$\sqrt{2}$+1=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2}$$\sqrt{ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
即$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．
∴三角形的面積S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
即S_max=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，依題意，得到a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$+1是應(yīng)用基本不等式基礎(chǔ)，考查創(chuàng)新與運(yùn)算能力，屬于中檔題．