Question

20．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為10，離心率為$\frac{2}{3}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得橢圓的焦點(diǎn)和左右頂點(diǎn)，可設(shè)雙曲線的方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），求得m，n，即可得到雙曲線的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2b=10，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，a²-b²=c²，
解得b=5，a=3$\sqrt{5}$，c=2$\sqrt{5}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（2）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），
由橢圓的焦點(diǎn)為（±2$\sqrt{5}$，0），可得m=2$\sqrt{5}$，
由橢圓的左右頂點(diǎn)為（±3$\sqrt{5}$，0），
可得$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
解得n=5，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．