Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{x^2}-1}}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷并證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用分母不為0，求出函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義，證明即可．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簒²-1≠0，
解得：{x|x≠±1}，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x≠±1}．
$（2）f（-x）=\frac{1}{{（-x）}^{2}-1}=\frac{1}{{x}^{2}-1}=f（x）$，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）證明：任取x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂；
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$
=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$．
∵x₂＞x₁＞1，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，考查計(jì)算能力．