Question

17．已知拋物線C：y²=4x，過其焦點F作兩條相互垂直且不平行于x軸的直線，分別交拋物線C于點P₁，P₂和點P₃，P₄，線段P₁P₂，P₃P₄的中點分別記為M₁，M₂
（Ⅰ）求△FM₁M₂面積的最小值：
（Ⅱ）求線段M₁M₂的中點P滿足的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線M₁M₂方程恒過定點P（3，0），即可求△FM₁M₂面積的最小值：
（Ⅱ）確定線段M₁M₂的中點P坐標，消去參數(shù)，即可得到滿足的方程．

解答 解：（Ⅰ）拋物線的焦點坐標為（1，0），
設直線的方程P₁P₂為y=k（x-1），與y²=4x聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴M₁（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）
同理M₂（1+2k²，-2k），
∴${k}_{{M}_{1}{M}_{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（k≠±1）
∴直線M₁M₂方程為y-$\frac{2}{k}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-$\frac{2}{{k}^{2}}$），即y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-3），
結合直線方程的點斜式，可得直線恒過定點P（3，0）．
根據(jù)對稱性，當且僅當k=±1時，△FM₁M₂面積最小，此時，M₁（3，2），M₂（3，-2）
∴△FM₁M₂面積的最小值為$\frac{1}{2}×4×2$=4
（Ⅱ）設線段M₁M₂的中點P（x，y）
則x=1+$\frac{1}{{k}^{2}}$+k²，y=$\frac{1}{k}$-k，消去參數(shù)可得y²=x-3．

點評 本題給出拋物線互相垂直的弦，求它們的中點的問題．著重考查了直線與拋物線位置關系、直線過定點的判斷等知識，屬于中檔題．