Question

16．已知曲線f（x）=ax+bln（x-1）-a-1在點（2，f（2））處的切線為y=0
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=mf（x+1）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx，其中1＜m＜3，求證：當x∈（1，e）時，-$\frac{3}{2}$（1+ln3）＜g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，利用切線的斜率為0，可得f'（2）=0，又f（2）=0，即可求實數(shù)a，b的值；
（2）求出g（x）的解析式，得到當1＜m＜3，函數(shù)在（1，$\sqrt{m}$）上單調(diào)減，在（$\sqrt{m}$，e）上單調(diào)增，從而可得函數(shù)的最小值，構(gòu)建函數(shù)h（m）=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論．

解答 （1）解：求導函數(shù)，可得f'（x）=a+$\frac{x-1}$，
由已知得切線的斜率為0，
從而f'（2）=0，所以a+b=0，
又f（2）=a-1=0，
所以a=1，b=-1；
（2）證明：f（x）=x-2-ln（x-1），g（x）=mf（x+1）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx=m（x-1-lnx）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx
=$\frac{{x}^{2}}{2}$-m-mlnx，g′（x）=x-$\frac{m}{x}$（1＜m＜3），
即有當1＜m＜3，函數(shù)在（1，$\sqrt{m}$）上單調(diào)減，在（$\sqrt{m}$，e）上單調(diào)增．
∴g（x）_min=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，
∴g（$\sqrt{m}$）≤g（x）＜max{g（1），g（e）}
設(shè)h（m）=g（$\sqrt{m}$）=-$\frac{m}{2}$-$\frac{m}{2}$lnm，
∴h′（m）=-1-$\frac{1}{2}$lnm
∵1＜m＜3，∴l(xiāng)nm＞0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，3）上單調(diào)遞減
∴h（m）＞h（3）=-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$ln3，
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＞-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$ln3
∵1＜m＜3，∴g（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$-2m＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2，g（1）=-$\frac{1}{2}$＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2
∴1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2
∴當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有-$\frac{3}{2}$（1+ln3）＜g（x）＜$\frac{{e}^{2}}{2}$-2成立．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的證明，正確求導，構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．