Question

8．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，下面結論錯誤的是（　　）

• A． BD∥平面CB₁D₁
• B． AC₁⊥BD
• C． 異面直線AD與CB₁角為60°
• D． AC₁⊥平面CB₁D₁

Answer 1

分析 由BD∥B₁D₁，得到BD∥平面CB₁D₁；由AC⊥BD，CC₁⊥BD，得到AC₁⊥BD；異面直線AD與CB₁角為45°；由AC₁⊥B₁D₁，AC₁⊥CB₁，得到AC₁⊥平面CB₁D₁．

解答 解：在A中，∵BD∥B₁D₁，BD?平面CB₁D₁，B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴BD∥平面CB₁D₁，故A正確；
在B中，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴CC₁⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁，∴AC₁⊥BD，故B正確；
在C中，∵AD∥BC，∴∠BCB₁是異面直線AD與CB₁所成角，
∵BCC₁B₁是正方形，∴∠BCB₁=45°，
∴異面直線AD與CB₁角為45°，故C錯誤；
在D中，∵A₁B₁C₁D₁是正方形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴CC₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，∴B₁D₁⊥平面ACC₁，∴AC₁⊥B₁D₁，
同理，AC₁⊥CB₁，∵B₁D₁∩CB₁=B₁，∴AC₁⊥平面CB₁D₁，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意正方體結構特征的合理運用．