Question

2．如圖，已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b），連接BF₂并延長交橢圓于點(diǎn)M，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，連接F₁、N．
（I）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），且BF₂=2$\sqrt{2}$，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若F₁N⊥MB，求橢圓離心率e的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，建立方程關(guān)系即可求出a，b的值，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）求出C的坐標(biāo)，利用F₁C⊥AB建立斜率之間的關(guān)系，解方程即可求出e的值．

解答 解：（I）∵N的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{\frac{64}{9}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{4}{9}}{^{2}}$=1，即$\frac{64}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=9，
∵BF₂²=b²+c²=a²，
∴a²=（2$\sqrt{2}$）²=8，即b²=4，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直線BF₂：y=-$\frac{c}$x+b，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）x²-$\frac{2}{c}$x=0，
解得x=0，或x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵M(jìn)（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），且M，N關(guān)于x軸對稱，
∴N（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
則${k}_{{F}_{1}N}$=-$\frac{\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}+c}$=$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，
∵F₁N⊥MB，
∴$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•（-$\frac{c}$）=-1，
由b²=a²-c²得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查圓錐曲線的綜合問題，要求熟練掌握橢圓方程的求法以及直線垂直和斜率之間的關(guān)系，運(yùn)算量較大．