Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，斜率k（k≥0）的直線l過橢圓中心O且與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)從左至右為E，G，與直線l垂直的直線m與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，從上至下為F，H，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)面積為$\frac{8}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）求四邊形EFGH的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)面積為$\frac{8}{3}$，G的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），代入橢圓方程，結(jié)合橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，求出面積，利用基本不等式求四邊形EFGH的面積S的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)面積為$\frac{8}{3}$，G的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
代入橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{2}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3^{2}}=1$，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}b$，
∴b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）k≠0，設(shè)直線EG的方程為y=kx，代入橢圓方程，可得G（$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$），
同理F（-$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$，$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$），
∴四邊形EFGH的面積S=4×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）（{k}^{2}+2）}}$=$\sqrt{2{k}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}+5}$≥$\sqrt{5+4}$=3，
k=0時(shí)，S=4×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$=2$\sqrt{2}$．
∴四邊形EFGH的面積S的取值范圍是[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程，考查直線與 橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．