Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{2}{x}$（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（1）=3，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，f（-x）=-f（x），從而可以得出ax²=0，從而得到a=0；
（2）由f（1）=3便可得到a=1，從而f（x）=${x}^{2}+\frac{2}{x}$，可以看出x≥1時(shí)，x²的增大速度大于$\frac{2}{x}$的減小速度，從而可判斷出f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
即$a{x}^{2}-\frac{2}{x}=-（a{x}^{2}+\frac{2}{x}）$；
∴2ax²=0；
∴a=0；
（2）f（1）=3，∴a+2=3，a=1；
∴$f（x）={x}^{2}+\frac{2}{x}$，x≥1時(shí)，$0＜\frac{2}{x}≤2$，x增大時(shí)，x²的增大速度大于$\frac{2}{x}$的減小速度，從而f（x）增大，∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂≥1，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{2}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{2}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁+x₂＞2，$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＜2$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，且x₁-x₂＞0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷和證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．