Question

2．設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=4$\overrightarrow{AB}$，且△ABC的面積為S，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 點P在△ABC外，且△APC的面積為$\frac{1}{3}$S
• B． 點P在△ABC外，且△APC的面積為$\frac{1}{2}$S
• C． 點P在△ABC內(nèi)，且△APC的面積為$\frac{1}{3}$S
• D． 點P在△ABC內(nèi)，且△APC的面積為$\frac{1}{2}$S

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}$表示出$\overrightarrow{AB}$，利用向量加法的平行四邊形法則得出A，B，C，P四點的位置關(guān)系，代入三角形的面積公式得出面積關(guān)系．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=4$\overrightarrow{AB}$=4（$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}$），
∴5$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PB}$．
作平行四邊形PNDM，則A為PN的五等分點，C為PM的三等分點，B為PD的中點．
即PC=$\frac{1}{3}PM$，PA=$\frac{1}{5}PN$，
∴P在△ABC外部．
∵S_△APC=$\frac{1}{2}PA•PC•sin∠APC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}PN×\frac{1}{3}PM×sin∠MPN$=$\frac{1}{15}$S_△PMN．
S_△BCM=$\frac{1}{2}MB•MC•sin∠BMC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}MN×\frac{2}{3}MP×sin∠NMP$=$\frac{1}{3}$S_△PMN．
S_△ABN=$\frac{1}{2}•AN•BN•sin∠ANB$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}PN×\frac{1}{2}MN×sin∠MNP$=$\frac{2}{5}$S_△PMN．
∴S_△ABC=S_△PMN-S_△APC-S_△BCM-S_△ABN=$\frac{1}{5}$S_△PMN．
∴S_△APC：S_△ABC=$\frac{1}{15}$：$\frac{1}{5}$=1：3．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的線性運算，三角形的面積公式，屬于中檔題．