Question

1．在直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為常數(shù)）．
（I）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=-2時，求曲線M上的點與曲線N上點的最小距離．

Answer 1

分析 （1）首先，將所給的直線的參數(shù)方程化為普通方程、直線的極坐標方程化為直角坐標方程，然后，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系進行求解即可；
（2）利用平行線系，然后，結(jié)合平行線之間的距離公式進行求解．

解答 解：（1）根據(jù)曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得
y=2cos²θ-1=x²-1，
∴y=x²-1，
∵曲線N的極坐標方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴x+y-t=0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y-t=0}\end{array}\right.$，
∴x²-x+t-1=0．
∴△=1-4（t-1）=0，
∴t=$\frac{5}{4}$，
（2）∵t=-2，
∴x+y+2=0，
設(shè)與上述直線平行的直線方程為：x+y+m=0，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$，
∴x²-x-m-1=0．
∴△=1+4（m+1）=0，
∴t=-$\frac{5}{4}$，
∴曲線M上的點與曲線N上點的最小距離d=$\frac{|2-\frac{5}{4}|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，極坐標方程與直角坐標方程的互化，屬于中檔題．