Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與AC所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）設AC∩BD=O，∵∠BAD=60°，PA=PB=2，
∴BO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，
如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則P（0，-$\sqrt{3}$，2），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
設PB與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴PB與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．