Question

12．已知M是不小于2的整數(shù)，將分別寫有0，1，2，…，M-1的卡各一張放入一個箱子中，若從這個箱子中隨機取出一張卡，記下卡上所寫的數(shù)字后將卡放回箱子中，這樣的實驗進行n次，所得的n個數(shù)字的和為偶數(shù)的概率為P_n．
（1）當(dāng)M=2時，求P_n；
（2）當(dāng)M=3時，求P₁，P₂，P_n；
（3）當(dāng)M為偶數(shù)、奇數(shù)時，分別求P_n．

Answer 1

分析 （1）M=2時，有0，1兩種卡，使n次實驗的數(shù)字之和為0，則1應(yīng)該出現(xiàn)偶數(shù)次，由此根據(jù)n的奇偶性分別討論，能求出P_n．
（2）M=3時，有0，1，2三種卡，則${p}_{1}=\frac{2}{3}，{p}_{2}=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$，由此根據(jù)n的奇偶性分別討論，能求出P_n．
（3）當(dāng)M為偶數(shù)時，${p}_{1}=\frac{1}{2}$，此時P_n等同于M=2時的情況；當(dāng)M為奇數(shù)時，${p}_{1}=\frac{M+1}{2M}$，由此根據(jù)n的奇偶性分別討論，能求出P_n．

解答 解：（1）M=2時，有0，1兩種卡，使n次實驗的數(shù)字之和為0，
則1應(yīng)該出現(xiàn)偶數(shù)次，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，p_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（$\frac{1}{2}$）^n-2•$（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{n-4}•（\frac{1}{2}）^{4}$+…+$（\frac{1}{2}）^{0}•（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{1}{{2}^{n}}•（\frac{n}{2}+1）$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時，${p}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}•\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{n-3}•（\frac{1}{2}）^{2}+…+\frac{1}{2}$•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}（\frac{n+1}{2}）=\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
（2）M=3時，有0，1，2三種卡，則${p}_{1}=\frac{2}{3}，{p}_{2}=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，${p}_{n}=（\frac{2}{3}）^{n}+（\frac{2}{3}）^{n-2}•（\frac{1}{3}）^{2}$+$…+（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{1}{{3}^{n}}•\frac{{4}^{\frac{n}{2}-1}}{3}$=$\frac{{4}^{\frac{n}{2}+1}-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+2}-1}{{3}^{n+1}}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，p_n=（$\frac{2}{3}$）^n-1$•\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）^n-3$•（\frac{1}{3}）^{2}$+$…+\frac{2}{3}（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{{3}^{n}}•\frac{{2}^{n+2}-2}{3}$=$\frac{{2}^{n+2}-2}{{3}^{n+1}}$．
（3）當(dāng)M為偶數(shù)時，${p}_{1}=\frac{1}{2}$，此時P_n等同于M=2時的情況，
即${P}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+2}{{2}^{n+1}}，n為偶數(shù)}\\{\frac{n+1}{{2}^{n+1}}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$；
當(dāng)M為奇數(shù)時，${p}_{1}=\frac{M+1}{2M}$，
n為偶數(shù)時，P_n=${{P}_{1}}^{n}+{{P}_{1}}^{n-2}（1-{P}_{1}）^{2}+…+（1-{p}_{1}）^{n}$
=$\frac{1}{（2M）^{n}}×\frac{（M+1）^{n+2}-（M-1）^{n+2}}{{2}^{n+2}{M}^{n+1}}$
=$\frac{（M+1）^{n+2}-（M-1）^{n+2}}{{2}^{n+2}{M}^{n+1}}$，
n為n數(shù)時，P_n=${{P}_{1}}^{n+1}（1+{P}_{1}）+{{P}_{1}}^{n-3}（1-{P}_{1}）$+$…+{p}_{1}（1-{p}_{1}）^{n-1}$
=$\frac{1}{（2M）^{n}}•\frac{（M+1）^{m+2}（M-1）^{-2}-（M+1）（M-1）^{n-1}}{{2}^{n+2}•{M}^{n+1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的概率的求法，綜合性強，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力 要求高，考查分類討論思想、分析問題解決問題的能力．