Question

從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機抽取50名作為樣本測量身高．據(jù)測量，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160）第二組[160，165）；…第八組[190，195]．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）估計這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（Ⅱ）在上述樣本中從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，求滿足“|x-y|≤5”的事件的概率；
（Ⅲ）在上述樣本中從最后三組中任取3名學(xué)生參加學(xué)校籃球隊，用ξ表示從第八組中取到的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,頻率分布直方圖,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）法一：利用頻率分布直方圖分別求出第一組、第二組、第三組、第四組、第五組和第八組的人數(shù)，再由第六組，第七組，第八組的人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出第六級和第七組的人數(shù)，由此能求出結(jié)果．
法二：在總?cè)藬?shù)中先求出身高不足180cm的學(xué)生數(shù)，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）利用古典概型的概率計算公式進行計算．
（Ⅲ）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出其相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）解法一：第一組人數(shù)為0.008×5×50=2人，
則第八組也為2人，第二組人數(shù)為0.016×5×50=4人，
第三組與第四組人數(shù)分別為0.04×5×50=10人，
第五組人數(shù)為0.06×5×50=15人，
由于第六組，第七組，第八組的人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)第七組人數(shù)為a人，第八組人數(shù)為b人，
則a+b=7，2+b=2a，解得a=3，b=4．
從而這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為：
800×

2+3+4

50

=144人．
…（4分）
解法二：由題意得，這所學(xué)校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為：
800×[1-（0.008×5+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5）]=144人．…（4分）
（Ⅱ）第六組人數(shù)為4人，第八組人數(shù)為2人．
由題意得，從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生的基本事件總數(shù)為

C

2 6

=15種，
身高x，y滿足“|x-y|≤5”的基本事件數(shù)為

C

2 4

+

C

2 2

=7種，
所以P(|x-y|≤5)=

7

15

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，1，2．…（8分）
P(ξ=0)=

C 3 7 C 0 2

C 3 9

=

35

84

=

5

12

；
P(ξ=1)=

C 2 7 C 1 2

C 3 9

=

42

84

=

1

2

；
P(ξ=2)=

C 1 7 C 2 2

C 3 9

=

7

84

=

1

12

．…（11分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

故Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查頻率分布直方圖，用樣本頻率分布估計總體分布，計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，取有限個值的離散型隨機變量及其分布列、均值，超幾何分布．