Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=2a₇，S₄=17
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=2a₇，S₄=17，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2（{a}_{1}+6d）}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=17}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）令a_n=$-\frac{1}{2}n$+$\frac{11}{2}$≥0，解得n≤11．即可得出數(shù)列{a_n}的前n項和取得最大值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=2a₇，S₄=17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=2（{a}_{1}+6d）}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=17}\end{array}\right.$，解得a₁=5，d=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=5-$\frac{1}{2}（n-1）$=$-\frac{1}{2}n$+$\frac{11}{2}$．
（2）令a_n=$-\frac{1}{2}n$+$\frac{11}{2}$≥0，解得n≤11．
∴當n=11或10時，數(shù)列{a_n}的前n項和取得最大值，
S₁₁=$\frac{11×（5+0）}{2}$=$\frac{55}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．