13.已知α,β均為銳角,且滿足關(guān)系式12sin2(π+α)+20sin2($\frac{3π}{2}$-β)+12sin(3π+α)-20$\sqrt{2}$sin($\frac{π}{2}$-β)+13=0,求α與β的值.

分析 利用誘導(dǎo)公式化簡,然后配方,求得sinα與cosβ的值,則答案可求.

解答 解:由12sin2(π+α)+20sin2($\frac{3π}{2}$-β)+12sin(3π+α)-20$\sqrt{2}$sin($\frac{π}{2}$-β)+13=0,
得$12si{n}^{2}α+20co{s}^{2}β-12sinα-20\sqrt{2}cosβ+13=0$,
即$(2\sqrt{3}sinα-\sqrt{3})^{2}+20(cosβ-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=0$,
∴$2\sqrt{3}sinα-\sqrt{3}=0$,$cosβ-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$,
則$sinα=\frac{1}{2}$,$cosβ=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
又α,β均為銳角,∴$α=\frac{π}{6}$,$β=\frac{π}{4}$.

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,訓(xùn)練了配方法在求解三角等式問題中的應(yīng)用,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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