Question

11．已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）若當x＞1時，有f（x）＜0．求證：f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若f（5）=-1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進行求解．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和抽象函數(shù)的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂＞0，
代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
由于當x＞1時，f（x）＜0，所以f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，因此f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．…（8分）
（3）因為f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以f（x）在[3，25]上的最小值為f（25）．
由f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₁）-f（x₂）得，
f（5）=f（$\frac{25}{5}$）=f（25）-f（5），而f（5）=-1，
所以f（25）=-2．
即f（x）在[3，25]上的最小值為-2．…（12分）

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法以及函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．