Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}，x≥0}\\{\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若實數(shù)t滿足f（log₂t）+f（log₂$\frac{1}{t}$）＜2f（2），求f（t）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，函數(shù)對應(yīng)方程根的個數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．
（2）分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進而可將不等式化為|log₂t|＜2，解得f（t）的取值范圍．

解答 解：（1）當x＜0時，解$\frac{2}{{e}^{x}+1}-\frac{3}{2}=0$得：x=ln$\frac{1}{3}$=-ln3，
當x≥0時，解$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}=0$得：x=ln3，
故函數(shù)f（x）的零點為±ln3；
（2）當x＞0時，-x＜0，
此時f（-x）-f（x）=$\frac{2}{{e}^{-x}+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}+\frac{2}{{e}^{x}+1}$=$\frac{2{e}^{x}}{{e}^{x}+1}+\frac{2}{{e}^{x}+1}-2$=0，
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
又∵x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{x}+1}$為增函數(shù)，
∴f（log₂t）+f（log₂$\frac{1}{t}$）＜2f（2）時，2f（log₂t）＜2f（2），
即|log₂t|＜2，
-2＜log₂t＜2，
∴t∈（$\frac{1}{4}$，4）
故f（t）∈（$\frac{1}{2}-\frac{2}{\root{4}{e}+1}$，$\frac{1}{2}-\frac{2}{{e}^{4}+1}$）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的值域，難度中檔．