Question

20．已知m，n∈R且a＞1，直線l：（m+3n）x+2（m-n）y-8m=0與函數(shù)y=log_a（x+b）的圖象恒有公共點(diǎn)，則a³-b²的最大值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 求出直線l過定點(diǎn)（2，3），即函數(shù)y=log_a（x+b）的圖象定點(diǎn)（2，3），得出a³=2+b，求出b的取值范圍，再求出a³-b²的最大值．

解答 解：直線l：（m+3n）x+2（m-n）y-8m=0可化為：
m（x+2y-8）+n（3x-2y）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-8=0}\\{3x-2y=0}\end{array}\right.$，
解得x=2，y=3，
∴直線l過定點(diǎn)（2，3）；
又直線l與函數(shù)y=log_a（x+b）的圖象恒有公共點(diǎn)，
即過定點(diǎn)（2，3），
∴l(xiāng)og_a（2+b）=3，
∴a³=2+b＞1，即b＞-1；
∴a³-b²=2+b-b²=-${（b-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥$\frac{9}{4}$，
即a³-b²的最大值為$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線過定點(diǎn)的應(yīng)用問題，也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．