Question

12．已知m，n∈N^*，a＞0，a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，求m，n的值．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則把已知等式化為log_a（m+n）=log_am+log_an=log_amn，由此能求出m，n的值．

解答 解：∵m，n∈N^*，a＞0，a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，
∴l(xiāng)og_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）
=$lo{g}_{a}m+lo{g}_{a}（\frac{m+1}{m}）+lo{g}_{a}（\frac{m+2}{m+1}）$+…+$lo{g}_{a}（\frac{m+n}{m+n-1}）$
=$lo{g}_{a}（m×\frac{m+1}{m}×\frac{m+2}{m+1}×…×\frac{m+n}{m+n-1}）$
=log_a（m+n），
∴已知等式可以化為log_a（m+n）=log_am+log_an=log_amn，
比較真數(shù)，得m+n=mn，即（m-1）（n-1）=1，
∵m，n為正整數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=1}\\{n-1=1}\end{array}\right.$，解得m=2，n=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．