Question

5．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，在直線AC上是否存在一點D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出PA⊥平面ABC，從而BC⊥PA，又BC⊥CA，從而BC⊥平面PAC，由此能證明平面PBC⊥平面PAC．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，利用向量法能求出在直線AC上存在點$CD=\sqrt{6}$，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．

解答 證明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．…（1分）
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．…（3分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．…（5分）
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分
解：（2）由已知及（1）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
∵PA=1，AB=2，BC=$\sqrt{2}$．
∴以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標系C-xyz，
則C（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），P（$\sqrt{2}，0，1$），
$\overrightarrow{CB}=（{0，\sqrt{2}，0}），\overrightarrow{CP}=（{\sqrt{2}，0，1}）$，
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PBC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，則取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），…（9分）
設直線AC上的點D滿足$\overrightarrow{CD}=λ\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{CD}=（{\sqrt{2}λ，0，0}）$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（{0，-\sqrt{2}，0}）+（{\sqrt{2}λ，0，0}）=（{\sqrt{2}λ，-\sqrt{2}，0}）$，
∵直線BD與平面PBC所成角為30°，∴$sin{30°}=\frac{{|n•\overrightarrow{BD|}}}{{|n|•\overrightarrow{|BD|}|}}=\frac{{|\sqrt{2}λ|}}{{\sqrt{3}•\sqrt{2{λ^2}+2}}}=\frac{1}{2}$，
解得$λ=±\sqrt{3}$，…（11分）
∴在直線AC上存在點$CD=\sqrt{6}$，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．