2.已知當(dāng)α=$\frac{π}{6}$時,sinα<α<tanα,那么對于任意0<α<$\frac{π}{2}$,sinα<α<tanα是否成立?

分析 由條件構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的符號證明函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)的值的大小,從而得出結(jié)論.

解答 解:由0<α<$\frac{π}{2}$,可得sinα、α、tanα都是正實數(shù).
設(shè)f(α)=α-sinα,求導(dǎo)得:f′(α)=1-cosα>0,
因此,f(α)=α-sinα在α∈(0,$\frac{π}{2}$)上是個增函數(shù),
則有f(α)=α-sinα>f(0)=0,即sinα<α.
同理,令g(α)=tanα-α,則g′(α)=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$-1>0,
所以,g(α)=tanα-α在α∈(0,$\frac{π}{2}$)上也是個增函數(shù),
也有g(shù)(α)=tanα-α>g(0)=0,即tanα>α.
綜上,當(dāng)α∈(0,$\frac{π}{2}$)時,sinα<α<tanα.

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的符號證明函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)的值的大小,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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12.在銳角△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且cos(B+C)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A.
(1)求A;
(2)設(shè)a=7,b=5,求△ABC的面積.

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13.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x,x≤0}\\{sinπx,x>0}\end{array}\right.$,.若f(x)-ax≥-1,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.(-∞,-6)B.[-6,0]C.(-∞,-1]D.[-1,0]

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10.已知實數(shù)x,y滿足:$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{2x+y-4≤0}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,則由不等式組確定的可行域的面積為$\frac{13}{4}$;記max{a,b}={$\left\{\begin{array}{l}{a,a≥b}\\{b,a<b}\end{array}\right.$,則z=max{3x+2y,x+3y}的最大值為$\frac{15}{2}$.

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17.已知數(shù)列{an}的通項an=$\frac{2}{4{n}^{2}-4n-3}$,則其前n項和為-$\frac{2n}{4{n}^{2}-1}$.

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7.如圖是一個空間幾何體的三視圖,其中正視圖與側(cè)視圖完全一樣,俯視圖的外框為正方形,則這個幾何體的表面積是( 。
A.80-2πB.80C.80+4πD.80+6π

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14.在△ABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$,a=$\sqrt{2}$,S為△ABC的面積,則S+$\sqrt{2}$cosBcosC的最大值為(  )
A.4B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.2

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5.如圖,在三棱錐P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.
(1)求證:平面PBC⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AB=2,BC=$\sqrt{2}$,在直線AC上是否存在一點D,使得直線BD與平面PBC所成角為30°?若存在,求出CD的長;若不存在,說明理由.

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6.下列說法錯誤的是( 。
A.“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要條件
B.若p∨q是假命題,則p∧q是假命題
C.命題“存在x0∈R,2${\;}^{{x}_{0}}$≤0”的否定是“對任意的x∈R,2x>0”
D.命題“對任意的x∈R”,2x>x2”是真命題

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