Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1=3a_n，（n≥2），從而得到數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出a_n．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{{3}^{n}}_{\;}}$，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6，
∴由a_n+1=2T_n+6，①，得a_n=2T_n-1+6，（n≥2）②
②-①：有a_n+1-a_n=2T_n-2T_n-1，
即a_n+1=3a_n，（n≥2），
又a₁=6，由②有a₂=2T₁+6=2a₁+6=18，知a₂=3a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=6•3^n-1=2•3ⁿ．
（2）∵a_n=2•3ⁿ，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{{3}^{n}}_{\;}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4•{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．