Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)到它的漸近線距離為$\sqrt{3}$，直線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$（c為半焦距）與拋物線y²=2x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用焦點(diǎn)到它的漸近線距離為$\sqrt{3}$，求出b，利用拋物線y²=2x的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}$，可得a，c，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為bx+ay=0，
∵焦點(diǎn)到它的漸近線距離為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
拋物線y²=2x的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=3，a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$，
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．