Question

8．為了解某市市民的節(jié)能意識(shí)及行為習(xí)慣等情況，某機(jī)構(gòu)在市區(qū)范圍內(nèi)進(jìn)行了一次有關(guān)市民節(jié)能意識(shí)及行為習(xí)慣的測(cè)試，將所有參加者的筆試成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制成如下的頻數(shù)分布表：

分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段）	頻數(shù)（人數(shù)）
[60，70）	9
[70，80）	19
[80，90）	16
[90，100]	6
合計(jì)	50

（1）若采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)和[90，100]內(nèi)的參加者中抽取5人做問卷調(diào)查，求這5人中分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的人數(shù)；
（2）在（1）的條件，從抽取的5人中再隨機(jī)選取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，記分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為9人，分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為6人，由此能求出采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)和[90，100]內(nèi)的參加者中抽取5人做問卷調(diào)查，這5人中分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的人數(shù)．
（2）由題意X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列．

解答 解：（1）分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為9人，
分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為6人，
采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)和[90，100]內(nèi)的參加者中抽取5人做問卷調(diào)查，
這5人中分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為：6×$\frac{5}{9+6}$=2（人）．
（2）由（1）得抽取的5人中有3人分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)，∴X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

EX=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣方法的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．