Question

3．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，以AE為邊作正方形AEFG．
（1）連結(jié)GD，求證△ADG≌△ABE；
（2）連結(jié)FC，求證∠FCN=45°；
（3）請問在AB邊上是否存在一點Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AD，AE=AG，∠DAG=∠BAE推出三角形全等；
（2）過F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，證明FH=CH即可．
（3）取AB中點Q，連結(jié)DQ，使用全等三角形得出AG與QD平行且相等，AG與EF平行且相等，故QD與EF平行且相等．

解答 證明：（1）如圖，連接DG，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
∴△ADG≌△ABE；
（2）過F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
∵AE=EF，
∴△ABE≌△EHF，
∴AB=EH，BE=FH，
∴AB=BC=EH，
∴BE+EC=EC+CH
∴CH=BE=FH，
∴∠FCN=45°；
（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，
∵AB=AD，
∴△DAQ≌△ABE，
∵△ABE≌△EHF，
∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，
∴∠GAD=∠ADQ，
∴AG、QD平行且相等，
又∵AG、EF平行且相等，
∴QD、EF平行且相等，
∴四邊形DQEF是平行四邊形，
∴在AB邊上存在一點Q，使得四邊形DQEF是，平行四邊形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，作出輔助線，找到全等三角形是關(guān)鍵．