Question

16．已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈[t-1，t]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0可得a，b之間的關系，然后由f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根可得△=0，從而可求a，b，進而可求函數(shù)解析式．
（2）先求出對稱軸，再分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出最大值．

解答 解：（1）∵f（2）=0
∴4a+2b=0即b=-2a
∵f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
即x²+（b-1）x=0有兩個相等的實數(shù)根．
∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-$\frac{1}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x
（2）由（1）知f（x）的對稱軸為x=1，
當t-1≥1時，即t≥2時，f（x）在[t-1，t]上單調遞增，f（x）_max=f（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t，
當t≤1時，f（x）在[t-1，t]上單調遞減，f（x）_max=f（t-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+t-1=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
當t-1＜1，且t＞1時，即1＜t＜2時，f（x）在[t-1，1]上單調遞減，[1，t]上單調遞增，
f（t）=-$\frac{1}{2}$t²+t，f（t-1）=-$\frac{1}{2}$t²+2t-$\frac{3}{2}$，
當f（t）≥f（t-1）時，即1＜t≤$\frac{3}{2}$，
當f（t）＜f（t-1）時，即$\frac{3}{2}$＜t＜2，
綜上所述，f（x）的最大值為g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t-\frac{3}{2}，t≤1或\frac{3}{2}＜t＜2}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t，1＜t≤\frac{3}{2}或t≥2}\end{array}\right.$

點評 本題題主要考查了二次函數(shù)的性質的應用，關鍵是正確分類，屬于中檔題．