Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-x+b，其中a，b為常數(shù)．討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再討論a的取值，從而得出函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²-x+b，a，b為常數(shù)；
∴f′（x）=x²+2ax-1，
∴△=4a²+4＞0；
∴方程f′（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解得x₁=-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，x₂=-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$；
則當(dāng)x≤-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$或x≥-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$時(shí)，f′（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜x＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
討論：①當(dāng)a≥-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即2a≥$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，
f（x）在區(qū)間（a，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
②當(dāng)-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜a＜-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，
f（x）在區(qū)間（a，-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)a≤-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即a≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，
f（x）在區(qū)間（a，-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$]與[-a，+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是單調(diào)增函數(shù)，
在區(qū)間（-a-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，-a+$\sqrt{{a}^{2}+1}$）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．