Question

16．若直線l₁：y=x+a和直線l₂：y=x+b將圓（x-1）²+（y-2）²=8分成長度相等的四段弧，則a²+b²=18．

Answer 1

分析 根據(jù)直線將圓分成長度相等的四段弧，轉(zhuǎn)化為圓心C到直線l₁：y=x+a或l₂：y=x+b的距離相等，且為2，利用點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：∵直線l₁：y=x+a和直線l₂：y=x+b為平行線，
∴若直線l₁：y=x+a和直線l₂：y=x+b將圓（x-1）²+（y-2）²=8分成長度相等的四段弧，
則圓心為C（1，2），半徑為$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
則圓心C到直線l₁：y=x+a或l₂：y=x+b的距離相等，且為2，
即d=$\frac{|1-2+a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$=2，
即|a-1|=2$\sqrt{2}$，
則a=2$\sqrt{2}$+1或a=1-2$\sqrt{2}$，
即a=2$\sqrt{2}$+1，b=1-2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$+1，a=1-2$\sqrt{2}$，
則a²+b²=（2$\sqrt{2}$+1）²+（1-2$\sqrt{2}$）²=9+4$\sqrt{2}$+9-4$\sqrt{2}$=18，
故答案為：18

點評 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．