Question

15．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=DA，E，F(xiàn)分別是AB、PD的中點．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求證：AF∥平面PEC；
（3）M為線段BC的中點，求證AF⊥平面PDM．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，則AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明PC⊥BD．
（2）取PC的中點K，連結(jié)FK，EK，推導出四邊形AEKF是平行四邊形，由此能證明AF∥平面PEC．
（3）推導出AF⊥PD，DM⊥BC，從而DM⊥AD，又PA⊥DM，從而DM⊥AF，由此能證明AF⊥平面PDM．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，則AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC與PA相交于點A，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）取PC的中點K，連結(jié)FK，EK，
∵E、F分別是AB、PD的中點，∴PK$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，AE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
∴PK$\underset{∥}{=}$AE，∴四邊形AEKF是平行四邊形，
∴AF∥EK，
∵EK?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（3）∵PA=DA，F(xiàn)是PD的中點，∴AF⊥PD，
∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△BCD為等邊三角形，又M是BC的中點，
∴DM⊥BC，
又AD∥BC，∴DM⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DM，又PA∩AD=A，
∴DM⊥平面PAD，
又AF?平面PAD，∴DM⊥AF，
又PD∩DM=D，∴AF⊥平面PDM．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．