Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈$[0，\frac{π}{2}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），…（2分）
∴T=π．…（3分）
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得解得：-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]$（k∈z）．…（6分）
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，可得：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤1$，
∴$f{（x）_{max}}=2，f{（x）_{min}}=-\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．