Question

3．設(shè)x₁，x₂是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，若x₁是虛數(shù)，$\frac{x_1^2}{x_2}$是實(shí)數(shù)，則S=1+$\frac{x_1}{x_2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^4}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^8}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{16}}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{32}}$=-2．

Answer 1

分析 設(shè)x₁=s+ti（s，t∈R，t≠0）．則x₂=s-ti．則x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．利用$\frac{x_1^2}{x_2}$是實(shí)數(shù)，可得3s²=t²．于是x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．$（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1=0，取$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=ω，則ω²+ω+1=0，ω³=1．代入化簡即可得出．

解答 解：設(shè)x₁=s+ti（s，t∈R，t≠0）．則x₂=s-ti．
則x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∵$\frac{x_1^2}{x_2}$=$\frac{（s+ti）^{2}}{s-ti}$=$\frac{{s}^{3}-3s{t}^{2}}{{s}^{2}+{t}^{2}}$+$\frac{3{s}^{2}t-{t}^{3}}{{s}^{2}+{t}^{2}}$i是實(shí)數(shù)，
∴3s²t-t³=0，
∴3s²=t²．
∴x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∴4s²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$+2x₁x₂=x₁x₂，
∴$（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1=0，
取$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=ω，
則ω²+ω+1=0，
∴ω³=1．
則S=1+$\frac{x_1}{x_2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^4}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^8}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{16}}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{32}}$=1+ω+ω²+ω⁴+ω⁸+ω¹⁶+ω³²
=0+ω+ω²+ω+ω²
=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)原理及其根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．