Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}\;]$上的最大值與最小值的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通過$[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}\;]$求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解函數(shù)的最大值與最小值的和．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=sin2x+cos2x…．（4分）
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$…．（6分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{|ω|}=π$．…．（8分）
（Ⅱ）因為$x∈[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}]$，
所以$2x∈[\;-\frac{π}{3}，-\frac{π}{6}\;]$，所以$（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{π}{12}，\;\;\frac{π}{12}]$，…．（9分）
根據(jù)函數(shù)f（x）=sinx的性質，
當$2x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最小值$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）$，…．（10分）
當$2x+\frac{π}{4}=\;\frac{π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{2}sin\frac{π}{12}$．…．（11分）
因為$\sqrt{2}sin（-\frac{π}{12}）+\sqrt{2}sin（\frac{π}{12}）=0$，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$x∈[-\frac{π}{6}，-\frac{π}{12}]$上的最大值與最小值的和為0．…．（13分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的最值的求法，二倍角以及兩角和與差的三角函數(shù)的應用，考查計算能力．