Question

3．已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F（1，0），又直線l過定點P（-2，1），斜率為k．
（1）試求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)k為何值時，直線l與拋物線只有一個交點？

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點，求得拋物線方程和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)直線l：y-1=k（x+2），即y=kx+1+2k，代入拋物線方程y²=4x，消去y，可得x的方程，對k討論，k=0和k不為0，判別式為0，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F（1，0），
即有拋物線的方程為y²=4x，
準(zhǔn)線方程為x=-1；
（2）設(shè)直線l：y-1=k（x+2），即y=kx+1+2k，
代入拋物線方程y²=4x，
可得k²x²+（2k+4k²-4）x+（1+2k）²=0，
當(dāng)k=0時，x=$\frac{1}{4}$，直線l與拋物線只有一個交點（$\frac{1}{4}$，1），成立；
當(dāng)k≠0，判別式為0，直線與拋物線相切，
即（2k+4k²-4）²-4k²（1+2k）²=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或-1．
綜上可得，當(dāng)k為0，$\frac{1}{2}$，-1時，
直線l與拋物線只有一個交點．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查準(zhǔn)線方程的求法和聯(lián)立直線方程和拋物線方程，討論二次方程有解的情況，屬于中檔題和易錯題．