Question

7．若關(guān)于x的方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（{0，\frac{4}{27}}）$
• B． $（{0，\frac{4}{27}}]$
• C． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}）$
• D． $（{\frac{4}{27}，\frac{2}{3}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)方程和函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，0=0，∴0為方程的一個(gè)根．
當(dāng)x＞0時(shí)，方程|x⁴-x³|=ax等價(jià)為a=|x³-x²|，
令f（x）=x³-x²，f′（x）=3x²-2x，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{3}$，由f′（x）＞0得x＜0或x＞$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在$（{0，\frac{2}{3}}）$上遞減，在$（{-∞，0}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$上遞增，又f（1）=0，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{27}$，則|f（x）|取得極大值|f（$\frac{2}{3}$）|=$\frac{4}{27}$，
∴設(shè)$g（x）=\frac{{|{{x^4}-{x^3}}|}}{x}=\left\{\begin{array}{l}|{f（x）}|，x＞0\\-|{f（x）}|，x＜0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示，
則由題可知當(dāng)直線y=a與g（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)0＜a＜$\frac{4}{27}$，
此時(shí)方程|x⁴-x³|=ax在R上存在4個(gè)不同的實(shí)根，
故$a∈（{0，\frac{4}{27}}）$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．