Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1且a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1（n∈N⁺），a_n=1004，則n=2008．

Answer 1

分析 在已知數(shù)列遞推式中取n=n-1，得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}從第二項(xiàng)其為常數(shù)列．求其通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，則答案可求．

解答 解：由a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1，得
a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}{a}_{n-1}={a}_{n}$（n≥2），
兩式作差得：$\frac{1}{n}{a}_{n}={a}_{n+1}-{a}_{n}$（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{{a}_{n}}{n}$（n≥2），
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}從第二項(xiàng)其為常數(shù)列．
由a₁=1且a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n}$a_n=a_n+1，得a₂=a₁=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{2}=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{1}{2}$，${a}_{n}=\frac{n}{2}$，
由a_n=1004，得$\frac{n}{2}=1004$，
∴n=2008．
故答案為：2008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了等差關(guān)系的確定，是中檔題．