Question

10．已知$\overrightarrow{m}$=（cosx，sin2x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，若函數g（x）=bf（x）+c在x=A處取最大值6，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數量積的運算性質及輔助角公式計算可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，結合三角函數的有界性即得結論；
（Ⅱ）通過函數g（x）在x=A處取最大值6，可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}b+c=6}\\{2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）}\end{array}\right.$，進而可得A=$\frac{π}{6}$，利用基本不等式計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）由題可知：f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=（cosx，sin2x）•（cosx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$b+c，
∵函數g（x）=bsin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$b+c在x=A處取最大值6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}b+c=6}\\{2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）}\end{array}\right.$，
又∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$，
∴6=$\frac{3}{2}$b+c≥2$\sqrt{\frac{3}{2}b•c}$，即$\frac{3}{2}$bc≤9（當且僅當$\frac{3}{2}$b=c時等號成立），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{6}$•（$\frac{3}{2}$bc），
∴S_△ABC≤$\frac{1}{6}$•9=$\frac{3}{2}$，
即△ABC面積的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查平面向量數量積的運算，考查三角函數恒等變換及最值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．