Question

13．已知x，y∈R，x²+y²=9，求T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$的最小值．

Answer 1

分析 運用圓的參數(shù)方程可得x=3cosα，y=3sinα，α∈[0，2π），即有T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$），
再由正弦、余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：由x，y∈R，x²+y²=9，
可設(shè)x=3cosα，y=3sinα，α∈[0，2π），
即有T=$\sqrt{3+x}$+$\sqrt{3-y}$=$\sqrt{3+3cosα}$+$\sqrt{3-3sinα}$
=$\sqrt{3}$（$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$），
當sinα=1時，$\sqrt{1-sinα}$取得最小值0，$\sqrt{1+cosα}$取得最小值1，
當cosα=-1時，$\sqrt{1+cosα}$取得最小值0，$\sqrt{1-sinα}$取得最小值1，
即有$\sqrt{1+cosα}$+$\sqrt{1-sinα}$的最小值為1，
則T的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，運用圓的參數(shù)方程和正弦、余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．