Question

15．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最大值和最小值，算出A=1且k=$\frac{1}{2}$，再由函數(shù)的周期算出ω=$\frac{2π}{T}$=2，最后根據(jù)函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)的x值，得到φ=$\frac{π}{3}$，可得f（x）的表達(dá)式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為-$\frac{1}{2}$，
∴2A=$\frac{3}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=2，得A=1，k=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)的周期T=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．
而f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{3}{2}$為函數(shù)的最大值，得2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{3}$，
綜上所述，得f（x）的表達(dá)式是f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角函數(shù)圖象滿足的條件，求它的表達(dá)式，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．