Question

16．以下四個(gè)命題．：
①若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n²也存在；
②若$\underset{lim}{n→∞}$|a_n|存在，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n也存在；
③若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$也存在．
④若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n-b_n），$\underset{lim}{n→∞}$（a_n+b_n）存在，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n與$\underset{lim}{n→∞}$b_n都存在；
其中假命題的個(gè)數(shù)為 （　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由數(shù)列的定義及極限的定義，舉反例即可．

解答 解：①若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，不妨設(shè)$\underset{lim}{n→∞}$a_n=A，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n²=A²，故成立；
②不妨設(shè)a_n=（-1）ⁿ，故$\underset{lim}{n→∞}$|a_n|存在，$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在；
③若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，不妨設(shè)$\underset{lim}{n→∞}$a_n=A，當(dāng)A=-1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$不存在．
④若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n-b_n）=A，$\underset{lim}{n→∞}$（a_n+b_n）=B，則$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\frac{A+B}{2}$，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\frac{B-A}{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極限的定義及數(shù)列的定義的應(yīng)用．