Question

6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁，E、F分別是棱BC、CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AC上的點(diǎn)D滿足平面DEF∥平面ABC₁，試確定點(diǎn)D的位置，并說明理由；
（Ⅱ）證明：EF⊥A₁C．

Answer 1

分析 （I）利用已知及面面平行的性質(zhì)可得AB∥DE，由E是棱BC的中點(diǎn)，即可得D是線段AC的中點(diǎn)．
（II）先證明A₁C⊥AC₁，又由（1）可得AB⊥A₁C，可證A₁C⊥面ABC₁，即可證明A₁C⊥BC₁，又EF∥BC₁，從而得證EF⊥A₁C．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵面DEF∥面ABC₁，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC₁=AB，
∴AB∥DE，-------（4分）
∵在△ABC中E是棱BC的中點(diǎn)，
∴D是線段AC的中點(diǎn)．------------（6分）
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC=AA₁，
∴側(cè)面A₁ACC₁是菱形，
∴A₁C⊥AC₁，--------------------------------（7分）
由（1）可得AB⊥A₁C，
∵AB∩AC₁=A，
∴A₁C⊥面ABC₁，---------------（9分）
∴A₁C⊥BC₁．-------（10分）
又∵E，F(xiàn)分別為棱BC，CC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BC₁，--------（11分）
∴EF⊥A₁C．---------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面平行的性質(zhì)，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．