12．“城市呼喚綠化”，發(fā)展園林綠化事業(yè)是促進(jìn)國家經(jīng)濟(jì)法陣和城市建設(shè)事業(yè)的重要組成部分，某城市響應(yīng)城市綠化的號召，計(jì)劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC，長度為100$\sqrt{3}$米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料圍成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y單位均為米）．
（1）求x，y滿足的關(guān)系式（指出x，y的取值范圍）；
（2）在保證圍成的是三角形公園的情況下，如何設(shè)計(jì)能使所用的新型材料總長度最短？最短長度是多少？

分析 （1）根據(jù)題意，由余弦定理可得x2+y2-2xycos120°=30000，變形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范圍即可得答案；
（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，對其變形可得（x+y）2-30000=xy，結(jié)合基本不等式可得${（x+y）^2}-30000≤{（\frac{x+y}{2}）^2}$，解可得x+y≤200，分析可得答案．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2-2AB•ACcosA=BC2，
所以x2+y2-2xycos120°=30000，
即x2+y2+xy=30000，…（4分）
又因?yàn)閤＞0，y＞0，所以$0＜x＜100\sqrt{3}，0＜y＜100\sqrt{3}$．…（6分）
（2）要使所用的新型材料總長度最短只需x+y的最小，
由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2-30000=xy，
因?yàn)?xy≤{（\frac{x+y}{2}）^2}$，所以${（x+y）^2}-30000≤{（\frac{x+y}{2}）^2}$，…（9分）
則（x+y）2≤40000，即x+y≤200，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時，上式不等式成立．…（11分）
故當(dāng)AB，AC邊長均為100米時，所用材料長度最短為200米．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用余弦定理得到變量x、y之間的關(guān)系．

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2．設(shè)a=20.2，b=ln2，c=log2$\frac{9}{10}$，則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a

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3．已知p：x2-2x-8≤0，q：x2+mx-2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分條件，求m的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求m的取值范圍．

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20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有公共頂點(diǎn)，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)A（6，$\sqrt{5}$）．
（1）求雙曲線C的方程，并寫出漸近線方程；
（2）若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，且P到右焦點(diǎn)的距離為6，求P到左準(zhǔn)線的距離．

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7．已知O為原點(diǎn)，過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y2=1（a＞0）上點(diǎn)P作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點(diǎn)分別為A，B，平行四邊形OBPA的面積為1，則此雙曲線的漸近線方程為（　�。�
A．y=±$\frac{1}{2}$xB．y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$xC．y=±$\frac{1}{3}$xD．y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

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17．已知變量x，y滿足線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-2≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x+y+1≥0}\end{array}\right.$，則目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{2}$x-y的最小值為（　　）
A．-$\frac{5}{4}$B．2C．-2D．$\frac{13}{4}$

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4．已知命題p，q，則“￢p為假命題”是“p∧q是真命題”的（　　）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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1．若a=30.5，b=ln2，c=log3sin$\frac{π}{6}$，則下列不等式正確的是（　�。�
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞a＞b

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2．已知函數(shù)f（x）=|x2-1|+x2+ax．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值．

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