Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有公共頂點(diǎn)，且雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，$\sqrt{5}$）．
（1）求雙曲線C的方程，并寫出漸近線方程；
（2）若點(diǎn)P是雙曲線C上一點(diǎn)，且P到右焦點(diǎn)的距離為6，求P到左準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出雙曲線C方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$，將點(diǎn)$（6，\sqrt{5}）$代入曲線C，解得b²，求出雙曲線C的方程，即可情況漸近線方程．
（2）由（1）得雙曲線C的右焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線，設(shè)P（x_P，y_P）（|x_p|≥4）因?yàn)閙+2=5到右焦點(diǎn)的距離為6，P在雙曲線C上，得到方程組，求出${x_P}=4\sqrt{5}$，然后求解點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離．

解答 解：（1）因?yàn)殡p曲線m=3與雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$有公共頂點(diǎn)，
所以雙曲線C方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$…（2分）
將點(diǎn)$（6，\sqrt{5}）$代入曲線C的方程得到$\frac{36}{16}-\frac{5}{b^2}=1$，解得b²=4…（4分）
所以雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$，漸近線方程為$y=±\frac{1}{2}x$…（6分）
（2）由（1）得雙曲線C的右焦點(diǎn)為$（2\sqrt{5}，0）$，左準(zhǔn)線為$x=-\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$，
設(shè)P（x_P，y_P）（|x_p|≥4）因?yàn)閙+2=5到右焦點(diǎn)的距離為6，${（{x_P}-2\sqrt{5}）^2}+{y_P}^2=36$…（8分）
又因?yàn)镻在雙曲線C上，所以$\frac{{{x_P}^2}}{16}-\frac{{{y_P}^2}}{4}=1$
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{（{x_P}-2\sqrt{5}）^2}+{y_P}^2=36\\ \frac{{{x_P}^2}}{16}-\frac{{{y_P}^2}}{4}=1\end{array}\right.$，得${x_P}=4\sqrt{5}$或${x_P}=-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$（舍去）．．（11分）
所以點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離$d=4\sqrt{5}-（-\frac{{8\sqrt{5}}}{5}）=\frac{{28\sqrt{5}}}{5}$…（14分）
（若利用圓錐曲線的共同性質(zhì)解答同樣給分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．