2.已知函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+ax.
(1)若a=2,求函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為9,求實(shí)數(shù)a的值.

分析 (1)去掉絕對(duì)值,由f(x)=0,解方程可得零點(diǎn);
(2)將f(x)寫成分段函數(shù),討論a=0,當(dāng)0<a≤4時(shí),a>4,a<-4,當(dāng)-4≤a<0時(shí),結(jié)合對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,可得函數(shù)的單調(diào)性;
(3)由題意結(jié)合(2),討論a=0,當(dāng)0<a≤4時(shí),當(dāng)a>4時(shí),當(dāng)a<-4時(shí),a≤-8,-4<a<0時(shí),運(yùn)用單調(diào)性可得最大值,解方程可得a的值.

解答 解:(1)f(x)=|x2-1|+x2+2x,
當(dāng)x≥1或x≤-1時(shí),f(x)=2x2+2x-1,
由f(x)=0,解得x=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$($\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$舍去),
當(dāng)-1<x<1時(shí),f(x)=1-x2+x2+2x=1+2x,
由f(x)=0,可得x=-$\frac{1}{2}$;
綜上可得,f(x)的零點(diǎn)為-$\frac{1}{2}$,$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$;
(2)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+ax-1,x≥1或x≤-1}\\{1+ax,-1<x<1}\end{array}\right.$,
當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)遞增;
x≥1或x≤-1時(shí),f(x)=2x2+ax-1的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{4}$,
當(dāng)a<-4時(shí),f(x)在(-1,1)遞減,(-∞,-1)遞減,
在(1,-$\frac{a}{4}$)遞減,(-$\frac{a}{4}$,+∞)遞增;
當(dāng)-4≤a<0時(shí),f(x)在(-1,1)遞減,(-∞,-1)遞減,在(1,+∞)遞增;
當(dāng)0<a≤4時(shí),f(x)在(-1,1)遞增,(-∞,-1)遞減,在(1,+∞)遞增;
當(dāng)a>4時(shí),f(x)在(-1,1)遞增,在(1,+∞)遞增,
(-∞,-$\frac{a}{4}$)遞減,在(-$\frac{a}{4}$,-1)遞增;
(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為9,
當(dāng)a=0時(shí),f(x)在[0,1)為1,在(1,2)遞增,即有f(2)=7,不成立;
當(dāng)0<a≤4時(shí),f(x)在(0,1)遞增,在(1,2)遞增,即有f(2)=7+2a=9,解得a=1;
當(dāng)a>4時(shí),f(x)在(0,1)遞增,在(1,2)遞增,即有f(2)=7+2a=9,解得a=1,不成立;
當(dāng)a<-4時(shí),f(x)在(0,1)遞減,在(1,-$\frac{a}{4}$)遞減,(-$\frac{a}{4}$,+∞)遞增;
若a≤-8,即有-$\frac{a}{4}$≥2,即有f(0)取得最大值,且為1;若-8<a<-4時(shí),
即有f(2)取得最大值,且為7+2a=9,解得a=1不成立;
當(dāng)-4≤a<0時(shí),f(x)在(0,1)遞減,在(1,2)遞增,且f(0)=1,f(2)=7+2a,
若f(2)=9,解得a=1不成立.
綜上可得,a=1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性及最值的求法,注意運(yùn)用絕對(duì)值的意義和分類討論的思想方法,以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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