Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+ax．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值，由f（x）=0，解方程可得零點(diǎn)；
（2）將f（x）寫成分段函數(shù)，討論a=0，當(dāng)0＜a≤4時(shí)，a＞4，a＜-4，當(dāng)-4≤a＜0時(shí)，結(jié)合對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由題意結(jié)合（2），討論a=0，當(dāng)0＜a≤4時(shí)，當(dāng)a＞4時(shí)，當(dāng)a＜-4時(shí)，a≤-8，-4＜a＜0時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）f（x）=|x²-1|+x²+2x，
當(dāng)x≥1或x≤-1時(shí)，f（x）=2x²+2x-1，
由f（x）=0，解得x=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$（$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$舍去），
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）=1-x²+x²+2x=1+2x，
由f（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$；
綜上可得，f（x）的零點(diǎn)為-$\frac{1}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+ax-1，x≥1或x≤-1}\\{1+ax，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增；
x≥1或x≤-1時(shí)，f（x）=2x²+ax-1的對(duì)稱軸為x=-$\frac{a}{4}$，
當(dāng)a＜-4時(shí)，f（x）在（-1，1）遞減，（-∞，-1）遞減，
在（1，-$\frac{a}{4}$）遞減，（-$\frac{a}{4}$，+∞）遞增；
當(dāng)-4≤a＜0時(shí)，f（x）在（-1，1）遞減，（-∞，-1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當(dāng)0＜a≤4時(shí)，f（x）在（-1，1）遞增，（-∞，-1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）在（-1，1）遞增，在（1，+∞）遞增，
（-∞，-$\frac{a}{4}$）遞減，在（-$\frac{a}{4}$，-1）遞增；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為9，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在[0，1）為1，在（1，2）遞增，即有f（2）=7，不成立；
當(dāng)0＜a≤4時(shí)，f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞增，即有f（2）=7+2a=9，解得a=1；
當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞增，即有f（2）=7+2a=9，解得a=1，不成立；
當(dāng)a＜-4時(shí)，f（x）在（0，1）遞減，在（1，-$\frac{a}{4}$）遞減，（-$\frac{a}{4}$，+∞）遞增；
若a≤-8，即有-$\frac{a}{4}$≥2，即有f（0）取得最大值，且為1；若-8＜a＜-4時(shí)，
即有f（2）取得最大值，且為7+2a=9，解得a=1不成立；
當(dāng)-4≤a＜0時(shí)，f（x）在（0，1）遞減，在（1，2）遞增，且f（0）=1，f（2）=7+2a，
若f（2）=9，解得a=1不成立．
綜上可得，a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查含絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性及最值的求法，注意運(yùn)用絕對(duì)值的意義和分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．