Question

1．已知函數f（x）=2^x+a的反函數是y=f^-1（x），設P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）圖象上不同的三點；
（1）求y=f^-1（x）；
（2）如果存在正實數x，使得y₁，y₂，y₃成等差數列，試用x表示實數a；
（3）在（2）的條件下，如果實數x是唯一的，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由y=2^x+a，解得x=log₂（y-a），把x與y互換可得：f^-1（x）（x＞a）；
（2）y₁=log₂x，y₂=log₂（x-a），y₃=log₂2=1，根據等差數列的性質可得2log₂（x-a）=1+log₂x，化為（x-a）²=2x，即可解出．
（3）由（x-a）²=2x，化為x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．分類討論：當△=0時，當△＞0時，方程的有關根大于a，另一個根小于a（不可能出現一個跟等于a的情形），記g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．

解答 解：（1）由y=2^x+a，解得x=log₂（y-a），把x與y互換可得：f^-1（x）=log₂（x-a）（x＞a）；
（2）y₁=log₂x，y₂=log₂（x-a），y₃=log₂2=1，
∵y₁，y₂，y₃成等差數列，
∴2log₂（x-a）=1+log₂x，化為（x-a）²=2x，
解得a=x-$\sqrt{2x}$，x∈（0，2）∪（2，+∞）．
（3）由（x-a）²=2x，化為x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上由唯一解．
當△=4（a+1）²-4a²=0時，解得a=-$\frac{1}{2}$，這時方程有唯一解x=$\frac{1}{2}$，滿足條件．
當△＞0時，方程的一個根大于a，另一個根小于a（不可能出現一個跟等于a的情形），記g（x）=x²-2（a+1）x+a²，
只需g（x）＜0即可，解得a＞0．
綜上可得：a＞0，或a=-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了對數函數的單調性、一元二次方程的實數根與判別式的關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．