Question

17．已知函數(shù)f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx+sinωx）（ω＞0）的圖象兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單凋減區(qū)間；
（3）若對任意的x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有，|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式與差角公式對f（x）進行化簡，根據(jù)周期列出方程解出；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ解出．
（3）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值，令最大值與最小值的差小于m即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx$+\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．∵f（x）圖象兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ．∴f（x）的單調減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上最大值是$\frac{3}{2}$，最小值是0．
∵|f（x₁）-f（x₂）|＜m恒成立，∴m＞$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，化簡求值，三角函數(shù)的性質，及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．