Question

1．如圖，已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，動點P在雙曲線的右支上（P點不在x軸上），△PF₁F₂的內(nèi)切圓（I為圓心）與x軸切于E點．
（1）求證：E點是雙曲線的右頂點；
（2）過F₂作直線PI的垂線，且交直線PI于M點，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）點P是雙曲線右支上一點，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．由同一點向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)．
（2）在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OM，從而解決問題．

解答 （1）證明：∵點P是雙曲線右支上一點，
∴按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
設(shè)E（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點．考慮到同一點向圓引得兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=EF₁-F₂E
=（c+x）-（c-x）=2x=2a
∴x=a
∴E（a，0）．
∴E點是雙曲線的右頂點；
（2）解：在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OM=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{1}{2}$（PF₁-PC）=$\frac{1}{2}$（PF₁-PF₂）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
∴點M的軌跡方程是x²+y²=a²．

點評 本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關(guān)鍵是充分利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形內(nèi)心的性質(zhì)等．