Question

6．△ABC的三角A，B，C的對邊分別為a，b，c滿足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面積的最大值；
（3）若a=2，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，得到b²+c²-bc=4，結(jié)合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面積公式算出當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（3）利用余弦定理結(jié)合基本不等式，可求△ABC的周長的取值范圍．

解答 解：（1）將（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，180°），
則A的度數(shù)為60°．
（2）∵a=2，A=60°，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos60°，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，△ABC的面積的最大值為$\sqrt{3}$，此時(shí)△ABC是等邊三角形．
（3）由題意，b＞0，c＞0，b+c＞a=2，
∴由余弦定理4=b2+c2-2bccos60°=（b+c）²-3bc≥$\frac{1}{4}$（b+c）²（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
∴b+c≤4，
∵b+c＞2，
∴2＜b+c≤4，
∴△ABC的周長的取值范圍為（4，6]．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，學(xué)生在求值時(shí)注意運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理這個(gè)隱含條件，同時(shí)注意角度的范圍．